secp256k1-ecc 


椭圆曲线算法可以看作是定义在特殊集合下数的运算，满足一定的规则。
椭圆曲线在如 下两个域中定义:Fp 域和 F2m 域。

Fp 域，素数域，p 为素数;
F2m 域:特征为 2 的有限域，称之为二元域或者二进制扩展域。该域中，元素的个数为 2m 个。

椭圆曲线标准文档如下:
1) X9.62
   Public Key Cryptography For The Financial Services Industry: The Elliptic Curve
  Digital Signature Algorithm (ECDSA);
2) SEC1
   SEC 1:Elliptic Curve Cryptography;
3) SEC2
   SEC 2: Recommended Elliptic Curve Domain Parameters;
4) NIST
   (U.S.) National Institute of Standards and Technology，美国国家标准。
   这些标准一般都描述了 Fp 域和 F2m 域、椭圆曲线参数、数据转换、密钥生成以及
   推荐了多种椭圆曲线。

一些术语说明:
1) 椭圆曲线的阶(order of a curve)
   椭圆曲线所有点的个数，包括无穷远点;
2) 椭圆曲线上点的阶(order of a point)
   P 为椭圆曲线上的点，nP=无穷远点，n 取最小整数，既是 P 的阶;
3) 基点(base point)
   椭圆曲线参数之一，用 G 表示，是椭圆曲线上都一个点;
4) 余因子(cofactor)
   椭圆曲线的余因子，用 h 表示，为椭圆曲线点的个数/基点的阶
5) 椭圆曲线参数:
   素数域:
   (p，a，b，G，n，h)
       其中，p 为素数，确定 Fp，a 和 b 确定椭圆曲线方程，G 为基点，
       n 为 G 的阶， h 为余因子。
   二进制扩展域:
   (m，f(x)，a，b，G，n，h)
       其中，m 确定 F2m，f(x)为不可约多项式，a 和 b 用于确定椭圆曲线方程，G 为基点，
       n 为 G 的阶， h 为余因子。

6) 椭圆曲线公钥和私钥
   椭圆曲线的私钥是一个随机整数，小于 n;
   椭圆曲线的公钥是椭圆曲线上的一个点: Q = 私钥 * G。




有一天张三挑出了两个数字，123，456。
由于张三会乘法，于是乎张三计算出了：
123 * 456 = 56088
于是张三告诉你：
123 * ??? = 56088

你是个天资卓绝的人，但是没办法，上天不允许你会除法，因此你没法知道张三说的???是什么。
当然了，别人也不知道，因为张三没有告诉其他人???是啥。

过了几天，你打算告诉张三一个秘密，67。但是你又不想别人知道。于是聪明绝顶的你随手选了一个数字222。计算出：
123 * 222 = 27306
56088 * 222 + 67 = 12451603
然后你对张三说：
123 * ??? = 27306
56088 * ??? + x = 12451603
当然，你聪明绝顶，张三聪明秃顶，于是张三一寻思：

123 * ??? * 456 = 56088 * ???
这上下一减，x = 12451603 - 27306 * 456 = 67

哎妈呀，这x就这么被传递过来了。

tips：上面那些都踏马怎么得到的？


细细想想：
假设张三公钥为K1，阶为G，私钥为：Q1
你的公钥为K2，阶为G，私钥为Q2
双方相互交换公钥。
张三手里握着自己的私钥Q1和你的公钥K2，你手里握着自己的私钥Q2和张三的公钥K1
则：设X1=Q1×K2=Q1×（Q2×G）
X2=Q2×K1=Q2×（Q1×G）
以上两个式子是相等的，即X1=X2

也可以这么理解：
Q1×K2=Q1×（Q2×G）=Q1×Q2×G=Q1×G×Q2=（Q1×G）×Q2=K1×Q2=Q2×K1


1）、张三知道的：123 * 456 = 56088 ，你知道的：123 * ??? = 56088
所以张三的公钥是56088，选择的G是：123
张三手里的信息是：自己的私钥：456
你手里的信息是：张三的公钥：56088
2）、你发给张三的信息：

123 * ??? = 27306
56088 * ??? + x = 12451603
你同样选择了123作为G，张三也知道了你的公钥是27306
你手里的信息：自己的私钥：222
张三知道的：你的公钥：27306

综上：
张三：私钥：456、G：123、公钥：56088
你：  私钥：222、G：123、公钥：27306

张三拿他的私钥×你的公钥，结果为：456×27306
而123 * ??? = 27306
带上上式：456×27306=456×123 * ??? =
而张三私钥×G=张三的公钥，张三公钥为56088，所以上式可变化为：
456×27306=456×123×???=56088×???

结合：56088 * ??? + x = 12451603

所以x=12451603-56088×???=12451603-456*27306=67





如果我们把上面的过程写成数学公式的话，就是

G * k = K （G,K公开，k保密）
（k就是传说中的密钥，K就是传说中的公钥，G一般在算法里写死了，也叫做曲线参数）

c1 = G * M
c2 = K * M + x (M随机选取，x为要加密的数字，M和x都保密)

x = c2 - c1 * k(这里应该写成是证明这个等式成立)
= K * M + x - G * M * k
= G * M * k + x - G * M * k (消除左右两侧的G * M * k)
= x





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