本篇文章讲解了计算机的原码, 反码和补码. 并且进行了深入探求了为何要使用反码和补码, 以及更进一步的论证了为何可以用反码, 补码的加法计算原码的减法. 论证部分如有不对的地方请各位牛人帮忙指正! 希望本文对大家学习计算机基础有所帮助!
一. 机器数和真值
在学习原码, 反码和补码之前, 需要先了解机器数和真值的概念.
1、机器数
一个数在计算机中的二进制表示形式, 叫做这个数的机器数。机器数是带符号的，在计算机用一个数的最高位存放符号, 正数为0, 负数为1.
比如，十进制中的数 +3 ，计算机字长为8位，转换成二进制就是00000011。如果是 -3 ，就是 10000011 。
那么，这里的 00000011 和 10000011 就是机器数。
2、真值
因为第一位是符号位，所以机器数的形式值就不等于真正的数值。例如上面的有符号数 10000011，其最高位1代表负，其真正数值是 -3 而不是形式值131（10000011转换成十进制等于131）。所以，为区别起见，将带符号位的机器数对应的真正数值称为机器数的真值。
例：0000 0001的真值 = +000 0001 = +1，1000 0001的真值 = –000 0001 = –1
二. 原码, 反码, 补码的基础概念和计算方法.
在探求为何机器要使用补码之前, 让我们先了解原码, 反码和补码的概念.对于一个数, 计算机要使用一定的编码方式进行存储. 原码, 反码, 补码是机器存储一个具体数字的编码方式.
1. 原码
原码就是符号位加上真值的绝对值, 即用第一位表示符号, 其余位表示值. 比如如果是8位二进制:
[+1]原 = 0000 0001
[-1]原 = 1000 0001
第一位是符号位. 因为第一位是符号位, 所以8位二进制数的取值范围就是:
[1111 1111 , 0111 1111]min = (-1)*(2^0+2^1+...+2^6)=(-1)*(2^7-1)=(-1)*(128-1)=-127
max = (1)*(2^0+2^1+...+2^6)=2^7-1 = 127
即
[-127 , 127]
原码是人脑最容易理解和计算的表示方式.
2. 反码
反码的表示方法是:
正数的反码是其本身
负数的反码是在其原码的基础上, 符号位不变，其余各个位取反.
[+1] = [00000001]原 = [00000001]反
[-1] = [10000001]原 = [11111110]反
可见如果一个反码表示的是负数, 人脑无法直观的看出来它的数值. 通常要将其转换成原码再计算.
3. 补码
补码的表示方法是:
正数的补码就是其本身
负数的补码是在其原码的基础上, 符号位不变, 其余各位取反, 最后+1. (即在反码的基础上+1)
[+1] = [00000001]原 = [00000001]反 = [00000001]补
[-1] = [10000001]原 = [11111110]反 = [11111111]补
对于负数, 补码表示方式也是人脑无法直观看出其数值的. 通常也需要转换成原码在计算其数值.
三. 为何要使用原码, 反码和补码
在开始深入学习前, 我的学习建议是先"死记硬背"上面的原码, 反码和补码的表示方式以及计算方法.
现在我们知道了计算机可以有三种编码方式表示一个数. 对于正数因为三种编码方式的结果都相同:
[+1] = [00000001]原 = [00000001]反 = [00000001]补
所以不需要过多解释. 但是对于负数:
[-1] = [10000001]原 = [11111110]反 = [11111111]补
可见原码, 反码和补码是完全不同的. 既然原码才是被人脑直接识别并用于计算表示方式, 为何还会有反码和补码呢?
首先, 因为人脑可以知道第一位是符号位, 在计算的时候我们会根据符号位, 选择对真值区域的加减. (真值的概念在本文最开头). 但是对于计算机, 加减乘数已经是最基础的运算, 要设计的尽量简单. 计算机辨别"符号位"显然会让计算机的基础电路设计变得十分复杂! 于是人们想出了将符号位也参与运算的方法. 我们知道, 根据运算法则减去一个正数等于加上一个负数, 即: 1-1 = 1 + (-1) = 0 , 所以机器可以只有加法而没有减法, 这样计算机运算的设计就更简单了.
于是人们开始探索 将符号位参与运算, 并且只保留加法的方法. 首先来看原码:
计算十进制的表达式: 1-1=0
1 - 1 = 1 + (-1) = [00000001]原 + [10000001]原 = [10000010]原 = -2
如果用原码表示, 让符号位也参与计算, 显然对于减法来说, 结果是不正确的.这也就是为何计算机内部不使用原码表示一个数.
为了解决原码做减法的问题, 出现了反码:
计算十进制的表达式: 1-1=0
1 - 1 = 1 + (-1) = [0000 0001]原 + [1000 0001]原= [0000 0001]反 + [1111 1110]反 = [1111 1111]反 = [1000 0000]原 = -0
发现用反码计算减法, 结果的真值部分是正确的. 而唯一的问题其实就出现在"0"这个特殊的数值上. 虽然人们理解上+0和-0是一样的, 但是0带符号是没有任何意义的. 而且会有[0000 0000]原和[1000 0000]原两个编码表示0.
于是补码的出现, 解决了0的符号以及两个编码的问题:
1-1 = 1 + (-1) = [0000 0001]原 + [1000 0001]原 = [0000 0001]补 + [1111 1111]补 = [0000 0000]补=[0000 0000]原
这样0用[0000 0000]表示, 而以前出现问题的-0则不存在了.而且可以用[1000 0000]表示-128:
(-1) + (-127) = [1000 0001]原 + [1111 1111]原 = [1111 1111]补 + [1000 0001]补 = [1000 0000]补
-1-127的结果应该是-128, 在用补码运算的结果中, [1000 0000]补 就是-128. 但是注意因为实际上是使用以前的-0的补码来表示-128, 所以-128并没有原码和反码表示.(对-128的补码表示[1000 0000]补算出来的原码是[0000 0000]原, 这是不正确的)
使用补码, 不仅仅修复了0的符号以及存在两个编码的问题, 而且还能够多表示一个最低数. 这就是为什么8位二进制, 使用原码或反码表示的范围为[-127, +127], 而使用补码表示的范围为[-128, 127].
因为机器使用补码, 所以对于编程中常用到的32位int类型, 可以表示范围是: [-231, 231-1] 因为第一位表示的是符号位.而使用补码表示时又可以多保存一个最小值.
四 原码, 反码, 补码 再深入
计算机巧妙地把符号位参与运算, 并且将减法变成了加法, 背后蕴含了怎样的数学原理呢?
将钟表想象成是一个1位的12进制数. 如果当前时间是6点, 我希望将时间设置成4点, 需要怎么做呢?我们可以:
1. 往回拨2个小时: 6 - 2 = 4
2. 往前拨10个小时: (6 + 10) mod 12 = 4
3. 往前拨10+12=22个小时: (6+22) mod 12 =4
2,3方法中的mod是指取模操作, 16 mod 12 =4 即用16除以12后的余数是4.
所以钟表往回拨(减法)的结果可以用往前拨(加法)替代!
现在的焦点就落在了如何用一个正数, 来替代一个负数. 上面的例子我们能感觉出来一些端倪, 发现一些规律. 但是数学是严谨的. 不能靠感觉.
首先介绍一个数学中相关的概念: 同余
同余的概念
两个整数a，b，若它们除以整数m所得的余数相等，则称a，b对于模m同余
记作 a ≡ b (mod m)
读作 a 与 b 关于模 m 同余。
举例说明:
4 mod 12 = 4
16 mod 12 = 4
28 mod 12 = 4
所以4, 16, 28关于模 12 同余.
负数取模
正数进行mod运算是很简单的. 但是负数呢?
下面是关于mod运算的数学定义:
上面是截图, "取下界"符号找不到如何输入(word中粘贴过来后乱码). 下面是使用"L"和"J"替换上图的"取下界"符号:
x mod y = x - y L x / y J
上面公式的意思是:
x mod y等于 x 减去 y 乘上 x与y的商的下界.（注：下界即小于等于结果的最大值）
以 -3 mod 2 举例:
-3 mod 2
= -3 - 2xL -3/2 J
= -3 - 2xL-1.5J
= -3 - 2x(-2)
= -3 + 4 = 1
所以:
(-2) mod 12 =-2-12*L(-2/12)J=-2-12*L-1/6J=-2-12*(-1)= 12-2=10
(-4) mod 12 = 12-4 = 8
(-5) mod 12 = 12 - 5 = 7
开始证明
再回到时钟的问题上:
回拨2小时 = 前拨10小时
回拨4小时 = 前拨8小时
回拨5小时= 前拨7小时
注意, 这里发现的规律!
结合上面学到的同余的概念.实际上:
(-2) mod 12 = 10
10 mod 12 = 10
-2与10是同余的.
(-4) mod 12 = 8
8 mod 12 = 8
-4与8是同余的.
距离成功越来越近了. 要实现用正数替代负数, 只需要运用同余数的两个定理:
反身性:
a ≡ a (mod m)
这个定理是很显而易见的.
线性运算定理:
如果a ≡ b (mod m)，c ≡ d (mod m) 那么:
(1)a ± c ≡ b ± d (mod m)
(2)a * c ≡ b * d (mod m)
如果想看这个定理的证明, 请看:http://baike.baidu.com/view/79282.htm
所以:
7 ≡ 7 (mod 12)
(-2) ≡ 10 (mod 12)
7 -2 ≡ 7 + 10 (mod 12)
现在我们为一个负数, 找到了它的正数同余数. 但是并不是7-2 = 7+10, 而是 7 -2 ≡ 7 + 10 (mod 12) , 即计算结果的余数相等.
接下来回到二进制的问题上, 看一下: 2-1=1的问题.
2-1=2+(-1) = [0000 0010]原 + [1000 0001]原= [0000 0010]反 + [1111 1110]反
先到这一步, -1的反码表示是1111 1110. 如果这里将[1111 1110]认为是原码, 则[1111 1110]原 = -126, 这里将符号位除去, 即认为是126.
发现有如下规律:
(-1) mod 127 = 126
126 mod 127 = 126
即:
(-1) ≡ 126 (mod 127)
2-1 ≡ 2+126 (mod 127)
2-1 与 2+126的余数结果是相同的! 而这个余数, 正式我们的期望的计算结果: 2-1=1
所以说一个数的反码, 实际上是这个数对于一个模的同余数. 而这个模并不是我们的二进制, 而是所能表示的最大值! 这就和钟表一样, 转了一圈后总能找到在可表示范围内的一个正确的数值!
而2+126很显然相当于钟表转过了一轮, 而因为符号位是参与计算的, 正好和溢出的最高位形成正确的运算结果.
既然反码可以将减法变成加法, 那么现在计算机使用的补码呢? 为什么在反码的基础上加1, 还能得到正确的结果?
2-1=2+(-1) = [0000 0010]原 + [1000 0001]原 = [0000 0010]补 + [1111 1111]补
如果把[1111 1111]当成原码, 去除符号位, 则:
[0111 1111]原 = 127
其实, 在反码的基础上+1, 只是相当于增加了模的值:
(-1) mod 128 = 127
127 mod 128 = 127
2-1 ≡ 2+127 (mod 128)
此时, 表盘相当于每128个刻度转一轮. 所以用补码表示的运算结果最小值和最大值应该是[-128, 128].
但是由于0的特殊情况, 没有办法表示128, 所以补码的取值范围是[-128, 127]
本人一直不善于数学, 所以如果文中有不对的地方请大家多多包含, 多多指点!
Java中>> 和 >>>的区别
到这里，基本知识我们已经了解的很清楚了，那么对于Java 中的移位运算符>> 和 >>>，有什么区别呢？
无论>>还是>>>都是针对二进制数进行操作的。
1、右移运算符>>使指定值的所有位都右移规定的次数。右边移出去的部分扔掉不要，左边空出来的部分用原来的数字填充（这就是所谓的带符号右移）
——比如说5，右移后为00000010。
——假设x=-12，表示为32位int型就是 11111111111111111111111111110100
x>>2即带符号右移2位，结果是 11111111111111111111111111111101，化为十进制等于-3
2、>>>与>>唯一的不同是它无论原来的最左边是什么数，统统都用0填充。
—— 比如 byte 类型的-1 为8位 11111111(补码表示法）
b>>>4就是无符号右移4位，即00001111，这样结果就是15。
原文
位运算是指按二进制进行的运算。在系统软件中，常常需要处理二进制位的问题。C语言提供了6个位操作运算符。这些运算符只能用于整型操作数，即只能用于带符号或无符号的char,short,int与long类型。
C语言提供的位运算符列表：
运算符 含义 描述
& 按位与 如果两个相应的二进制位都为1，则该位的结果值为1，否则为0
| 按位或 两个相应的二进制位中只要有一个为1，该位的结果值为1
^ 按位异或 若参加运算的两个二进制位值相同则为0，否则为1
~ 取反 ~是一元运算符，用来对一个二进制数按位取反，即将0变1，将1变0
<< 左移 用来将一个数的各二进制位全部左移N位，右补0
>> 右移 将一个数的各二进制位右移N位，移到右端的低位被舍弃，对于无符号数，高位补0
1、“按位与”运算符（&）
按位与是指：参加运算的两个数据，按二进制位进行“与”运算。如果两个相应的二进制位都为１，则该位的结果值为1；否则为0。这里的1可以理解为逻辑中的true,0可以理解为逻辑中的false。"按位与"其实与逻辑上“与”的运算规则一致。逻辑上的“与”，要求运算数全真，结果才为真。若A=true,B=true,则A∩B=true
例如：3&5 3的二进制编码是1(2)。（为了区分十进制和其他进制，本文规定，凡是非十进制的数据均在数据后面加上括号，括号中注明其进制，二进制则标记为2）内存储存数据的基本单位是字节（Byte），一个字节由8个位（bit)所组成。位是用以描述电脑数据量的最小单位。二进制系统中，每个0或1就是一个位。将11（2）补足成一个字节，则是00000011（2）。5的二进制编码是101（2），将其补足成一个字节，则是00000101（2）
按位与运算：
00000011(2)
&00000101(2)
00000001(2)
由此可知3&5=1
c语言代码：
#include <stdio.h>
main()
{
int a=3;
int b = 5;
printf("%d",a&b);
}
按位与的用途：
（1）清零
若想对一个存储单元清零，即使其全部二进制位为0，只要找一个二进制数，其中各个位符合一下条件：
原来的数中为1的位，新数中相应位为0。然后使二者进行&运算，即可达到清零目的。
例：原数为43，即00101011（2），另找一个数，设它为148，即10010100（2），将两者按位与运算：
00101011（2）
&10010100（2）
00000000（2）
c语言源代码：
#include <stdio.h>
main()
{
int a=43;
int b = 148;
printf("%d",a&b);
}
（2）取一个数中某些指定位
若有一个整数a(2byte),想要取其中的低字节，只需要将a与8个1按位与即可。
a 00101100 10101100
b 00000000 11111111
c 00000000 10101100
（3）保留指定位：
与一个数进行“按位与”运算，此数在该位取1.
例如：有一数84，即01010100（2），想把其中从左边算起的第3，4，5，7，8位保留下来，运算如下：
01010100(2)
&00111011(2)
00010000(2)
即：a=84,b=59
c=a&b=16
c语言源代码：
#include <stdio.h>
main()
{
int a=84;
int b = 59;
printf("%d",a&b);
}
2、“按位或”运算符（|）
两个相应的二进制位中只要有一个为1，该位的结果值为1。借用逻辑学中或运算的话来说就是，一真为真。
例如：60（8）|17（8）,将八进制60与八进制17进行按位或运算。
00110000
|00001111
00111111
c语言源代码：
#include <stdio.h>
main()
{
int a=060;
int b = 017;
printf("%d",a|b);
}
应用：按位或运算常用来对一个数据的某些位定值为1。例如：如果想使一个数a的低4位改为1，则只需要将a与17（8）进行按位或运算即可。
3、“异或”运算符（^）
他的规则是：若参加运算的两个二进制位值相同则为0，否则为1
即0∧0=0，0∧1=1，1∧0=1， 1∧1=0
例： 00111001
∧ 00101010
00010011
c语言源代码：
#include <stdio.h>
main()
{
int a=071;
int b = 052;
printf("%d",a^b);
}
应用：
（1）使特定位翻转
设有数01111010（2），想使其低4位翻转，即1变0，0变1.可以将其与00001111（2）进行“异或”运算，
即：
01111010
^00001111
01110101
运算结果的低４位正好是原数低４位的翻转。可见，要使哪几位翻转就将与其进行∧运算的该几位置为１即可。
(２)与0相“异或”，保留原值
例如：012^00=012
00001010
^00000000
00001010
因为原数中的1与0进行异或运算得1，0^0得0，故保留原数。
(３) 交换两个值，不用临时变量
例如：ａ＝３，即11（2）；ｂ＝４，即100（2）。
想将ａ和ｂ的值互换，可以用以下赋值语句实现：
ａ＝a∧b;
ｂ＝b∧a;
ａ＝a∧b;
ａ＝011(2)
（∧）ｂ＝100(2)
ａ＝111(2)（a∧b的结果，a已变成７）
（∧）ｂ＝100(2)
ｂ＝011(2)（b∧a的结果，b已变成３）
（∧）ａ＝111(2)
ａ＝100（2）（a∧b的结果，a已变成４）
等效于以下两步：
① 执行前两个赋值语句：“ａ＝ａ∧ｂ；”和“ｂ＝ｂ∧ａ；”相当于b=b∧(a∧b)。
② 再执行第三个赋值语句： ａ＝ａ∧ｂ。由于a的值等于（ａ∧ｂ），b的值等于（ｂ∧ａ∧ｂ），
因此，相当于a=ａ∧ｂ∧ｂ∧ａ∧ｂ，即a的值等于ａ∧ａ∧ｂ∧ｂ∧ｂ，等于ｂ。
很神奇吧！
c语言源代码：
#include <stdio.h>
main()
{
int a=3;
int b = 4;
a=a^b;
b=b^a;
a=a^b;
printf("a=%d b=%d",a,b);
}
4、“取反”运算符（~）
他是一元运算符，用于求整数的二进制反码，即分别将操作数各二进制位上的1变为0，0变为1。
例如：~77(8)
源代码：
#include <stdio.h>
main()
{
int a=077;
printf("%d",~a);
}
5、左移运算符（<<）
左移运算符是用来将一个数的各二进制位左移若干位，移动的位数由右操作数指定（右操作数必须是非负
值），其右边空出的位用0填补，高位左移溢出则舍弃该高位。
例如：将a的二进制数左移2位，右边空出的位补0，左边溢出的位舍弃。若a=15,即00001111（2），左移2
位得00111100（2）。
源代码：
#include <stdio.h>
main()
{
int a=15;
printf("%d",a<<2);
}
左移1位相当于该数乘以2，左移2位相当于该数乘以2*2＝4,15＜＜2=60，即乘了４。但此结论只适用于该数左移时被溢出舍弃的高位中不包含1的情况。
假设以一个字节（８位）存一个整数，若ａ为无符号整型变量，则ａ＝64时，左移一位时溢出的是0，而左移2位时，溢出的高位中包含1。
6、右移运算符（>>）
右移运算符是用来将一个数的各二进制位右移若干位，移动的位数由右操作数指定（右操作数必须是非负值），移到右端的低位被舍弃，对于无符号数，高位补0。对于有符号数，某些机器将对左边空出的部分用符号位填补（即“算术移位”），而另一些机器则对左边空出的部分用0填补（即“逻辑移位”）。注意：对无符号数,右移时左边高位移入0；对于有符号的值,如果原来符号位为0(该数为正),则左边也是移入0。如果符号位原来为1(即负数),则左边移入0还是1,要取决于所用的计算机系统。有的系统移入0,有的系统移入1。移入0的称为“逻辑移位”,即简单移位；移入1的称为“算术移位”。
例： a的值是八进制数113755：
a:1001011111101101 （用二进制形式表示）
a>>1: 0100101111110110 (逻辑右移时)
a>>1: 1100101111110110 (算术右移时)
在有些系统中,a>>1得八进制数045766,而在另一些系统上可能得到的是145766。Turbo C和其他一些C编译采用的是算术右移,即对有符号数右移时,如果符号位原来为1，左面移入高位的是1。
源代码：
#include <stdio.h>
main()
{
int a=0113755;
printf("%d",a>>1);
}
7、位运算赋值运算符
位运算符与赋值运算符可以组成复合赋值运算符。
例如: &=, |=, >>=, <<=, ∧=
例： a & = b相当于 a = a & b
a << =2相当于a = a << 2
二进制数在内存中以补码的形式存储。
按位取反：二进制每一位取反，0变1，1变0。
~9的计算步骤：
转二进制：0 1001
计算补码：0 1001
按位取反：1 0110
_____
转为原码：
按位取反：1 1001
末位加一：1 1010
符号位为1是负数，即-10
~-9的计算步骤：
转二进制：1 1001
计算补码：1 0111
按位取反：0 1000
_____
转为原码：
正数的补码和原码相同，仍为：0 1000，即8
原码表示法在数值前面增加了一位符号位（即最高位为符号位）：正数该位为0，负数该位为1（0有两种表示：+0和-0），其余位表示数值的大小。例如，用8位二进制表示一个数，+11的原码为00001011，-11的原码就是10001011。
反码表示法规定：正数的反码与其原码相同；负数的反码是对其原码逐位取反，但符号位除外。
补码表示法规定：正数的补码与其原码相同；负数的补码是在其反码的末位加1。
（1） 原码：在数值前直接加一符号位的表示法。
[+7]原= 0 0000111 B
[-7]原= 1 0000111 B
注意：
a. 数0的原码有两种形式：
[+0]原=0 0000000 B
[-0]原=1 0000000 B
b. 8位二进制原码的表示范围：-127～+127
（2）反码：
正数：正数的反码与原码相同。
负数：负数的反码，符号位为“1”，数值部分按位取反。
[+7]反= 0 0000111 B
[-7]反= 1 1111000 B
注意：
a. 数0的反码也有两种形式，即
[+0]反=0 0000000 B
[-0]反=1 1111111 B
b. 8位二进制反码的表示范围：-127～+127
（3）补码
正数：正数的补码和原码相同。
负数：负数的补码则是符号位为“1”。并且，这个“1”既是符号位，也是数值位。数值部分按位取反后再在末位（最低位）加1。也就是“反码+1”。
求负整数的补码，原码符号位不变，先将原码减去1，最后数值各位取反。（但由于2进制的特殊性，通常先使数值位各位取反，最后整个数加1。）
例如： 符号位 数值位
[+7]补= 0 0000111 B
[-7]补= 1 1111001 B
注意：
a. 采用补码后，可以方便地将减法运算转化成加法运算，运算过程得到简化。正数的补码即是它所表示的数的真值，而负数的补码的数值部份却不是它所表示的数的真值。采用补码进行运算，所得结果仍为补码。
b. 与原码、反码不同，数值0的补码只有一个，即 [0]补=00000000B。
c. 若字长为8位，则补码所表示的范围为-128～+127；进行补码运算时，应注意所得结果不应超过补码所能表示数的范围。
转化为原码
已知一个数的补码，求原码的操作其实就是对该补码再求补码：
⑴如果补码的符号位为“0”，表示是一个正数，其原码就是补码。
⑵如果补码的符号位为“1”，表示是一个负数，那么求给定的这个补码的补码就是要求的原码。
from:
https://segmentfault.com/a/1190000004877495
Java中的取反号‘~’看原码，反码，补码
一次在写测试程序的时候，随手对2取了一个反，当时代码大意如下:
public static void main(String[] args) {
int a = 2;
System.out.println(~a);
}
按照我当时的想法，觉得过程应该是这样的:
1. a = 2,也就是说a的二进制位10，取反就变成了01，所以结果应该为1。
2. 但是实际的结果值是-3，于是就被打脸了。
知识普及
那究竟是为什么结果和我预期的不一致呢？这就要从计算机常用的几个码说起了。首先，java存储的是有符号数，在计算机中，有符号数通常是使用补码存储的，java也不例外。先来看看什么叫原码，反码，补码。
原码
原码就是符号位加上真值的绝对值,即用第一位表示符号, 其余位表示值. 比如如果是8位二进制:
[+1]原 = 0000 0001
[-1]原 = 1000 0001
第一位是符号位. 正数符号位为0，负数为1。
反码
正数的反码是其本身
负数的反码是在其原码的基础上,符号位不变，其余各个位取反.
例如：
[+1] = [00000001]原 = [00000001]反
[-1] = [10000001]原 = [11111110]反
补码
正数的补码就是其本身
负数的补码是在反码的基础上+1。
例如:
[+1] = [00000001]原 = [00000001]反 = [00000001]补
[-1] = [10000001]原 = [11111110]反 = [11111111]补
分析
所以回到一开始的问题，int a = 2 a在计算机中是以补码存储的。
● 对于2这个正数来说，补码、反码、原码都是相同的，又由于是数值型，在这里我先用八位bit来表示一下：
原码:0000 0010
反码:0000 0010
补码:0000 0010
● 取反
取反过程是在补码的基础上进行的，由于是按位取反，无论符号位还是数值位都要取反，所以结果如下:
取反后的补码: 1111 1101
● 换算为值
那么取反后的补码的实际值是多少呢？我们需要先把他转化为原码，过程如下:
反码 = 1111 1101 - 1 = 1111 1100
原码 = 反码符号位不变，其余取反 = 1000 0011
所以，最后的值-3
C语言提供的位运算符列表：
运算符 含义 描述
& 按位与 如果两个相应的二进制位都为1，则该位的结果值为1，否则为0
| 按位或 两个相应的二进制位中只要有一个为1，该位的结果值为1
^ 按位异或 若参加运算的两个二进制位值相同则为0，否则为1
~ 取反 ~是一元运算符，用来对一个二进制数按位取反，即将0变1，将1变0
<< 左移 用来将一个数的各二进制位全部左移N位，右补0
>> 右移 将一个数的各二进制位右移N位，移到右端的低位被舍弃，对于无符号数，高位补0
1、“按位与”运算符（&）
按位与是指：参加运算的两个数据，按二进制位进行“与”运算。如果两个相应的二进制位都为１，则该位的结果值为1；否则为0。这里的1可以理解为逻辑中的true,0可以理解为逻辑中的false。"按位与"其实与逻辑上“与”的运算规则一致。逻辑上的“与”，要求运算数全真，结果才为真。若A=true,B=true,则A∩B=true
例如：3&5 3的二进制编码是1(2)。（为了区分十进制和其他进制，本文规定，凡是非十进制的数据均在数据后面加上括号，括号中注明其进制，二进制则标记为2）内存储存数据的基本单位是字节（Byte），一个字节由8个位（bit)所组成。位是用以描述电脑数据量的最小单位。二进制系统中，每个0或1就是一个位。将11（2）补足成一个字节，则是00000011（2）。5的二进制编码是101（2），将其补足成一个字节，则是00000101（2）
按位与运算：
00000011(2)
&00000101(2)
00000001(2)
由此可知3&5=1
c语言代码：
#include <stdio.h>
main()
{
int a=3;
int b = 5;
printf("%d",a&b);
}
按位与的用途：
（1）清零
若想对一个存储单元清零，即使其全部二进制位为0，只要找一个二进制数，其中各个位符合一下条件：
原来的数中为1的位，新数中相应位为0。然后使二者进行&运算，即可达到清零目的。
例：原数为43，即00101011（2），另找一个数，设它为148，即10010100（2），将两者按位与运算：
00101011（2）
&10010100（2）
00000000（2）
c语言源代码：
#include <stdio.h>
main()
{
int a=43;
int b = 148;
printf("%d",a&b);
}
（2）取一个数中某些指定位
若有一个整数a(2byte),想要取其中的低字节，只需要将a与8个1按位与即可。
a 00101100 10101100
b 00000000 11111111
c 00000000 10101100
（3）保留指定位：
与一个数进行“按位与”运算，此数在该位取1.
例如：有一数84，即01010100（2），想把其中从左边算起的第3，4，5，7，8位保留下来，运算如下：
01010100(2)
&00111011(2)
00010000(2)
即：a=84,b=59
c=a&b=16
c语言源代码：
#include <stdio.h>
main()
{
int a=84;
int b = 59;
printf("%d",a&b);
}
2、“按位或”运算符（|）
两个相应的二进制位中只要有一个为1，该位的结果值为1。借用逻辑学中或运算的话来说就是，一真为真。
例如：60（8）|17（8）,将八进制60与八进制17进行按位或运算。
00110000
|00001111
00111111
c语言源代码：
#include <stdio.h>
main()
{
int a=060;
int b = 017;
printf("%d",a|b);
}
应用：按位或运算常用来对一个数据的某些位定值为1。例如：如果想使一个数a的低4位改为1，则只需要将a与17（8）进行按位或运算即可。
3、“异或”运算符（^）
他的规则是：若参加运算的两个二进制位值相同则为0，否则为1
即0∧0=0，0∧1=1，1∧0=1， 1∧1=0
例： 00111001
∧ 00101010
00010011
c语言源代码：
#include <stdio.h>
main()
{
int a=071;
int b = 052;
printf("%d",a^b);
}
应用：
（1）使特定位翻转
设有数01111010（2），想使其低4位翻转，即1变0，0变1.可以将其与00001111（2）进行“异或”运算，
即：
01111010
^00001111
01110101
运算结果的低４位正好是原数低４位的翻转。可见，要使哪几位翻转就将与其进行∧运算的该几位置为１即可。
(２)与0相“异或”，保留原值
例如：012^00=012
00001010
^00000000
00001010
因为原数中的1与0进行异或运算得1，0^0得0，故保留原数。
(３) 交换两个值，不用临时变量
例如：ａ＝３，即11（2）；ｂ＝４，即100（2）。
想将ａ和ｂ的值互换，可以用以下赋值语句实现：
ａ＝a∧b;
ｂ＝b∧a;
ａ＝a∧b;
ａ＝011(2)
（∧）ｂ＝100(2)
ａ＝111(2)（a∧b的结果，a已变成７）
（∧）ｂ＝100(2)
ｂ＝011(2)（b∧a的结果，b已变成３）
（∧）ａ＝111(2)
ａ＝100（2）（a∧b的结果，a已变成４）
等效于以下两步：
① 执行前两个赋值语句：“ａ＝ａ∧ｂ；”和“ｂ＝ｂ∧ａ；”相当于b=b∧(a∧b)。
② 再执行第三个赋值语句： ａ＝ａ∧ｂ。由于a的值等于（ａ∧ｂ），b的值等于（ｂ∧ａ∧ｂ），
因此，相当于a=ａ∧ｂ∧ｂ∧ａ∧ｂ，即a的值等于ａ∧ａ∧ｂ∧ｂ∧ｂ，等于ｂ。
很神奇吧！
c语言源代码：
#include <stdio.h>
main()
{
int a=3;
int b = 4;
a=a^b;
b=b^a;
a=a^b;
printf("a=%d b=%d",a,b);
}
4、“取反”运算符（~）
他是一元运算符，用于求整数的二进制反码，即分别将操作数各二进制位上的1变为0，0变为1。
例如：~77(8)
源代码：
#include <stdio.h>
main()
{
int a=077;
printf("%d",~a);
}
5、左移运算符（<<）
左移运算符是用来将一个数的各二进制位左移若干位，移动的位数由右操作数指定（右操作数必须是非负
值），其右边空出的位用0填补，高位左移溢出则舍弃该高位。
例如：将a的二进制数左移2位，右边空出的位补0，左边溢出的位舍弃。若a=15,即00001111（2），左移2
位得00111100（2）。
源代码：
#include <stdio.h>
main()
{
int a=15;
printf("%d",a<<2);
}
左移1位相当于该数乘以2，左移2位相当于该数乘以2*2＝4,15＜＜2=60，即乘了４。但此结论只适用于该数左移时被溢出舍弃的高位中不包含1的情况。
假设以一个字节（８位）存一个整数，若ａ为无符号整型变量，则ａ＝64时，左移一位时溢出的是0，而左移2位时，溢出的高位中包含1。
6、右移运算符（>>）
右移运算符是用来将一个数的各二进制位右移若干位，移动的位数由右操作数指定（右操作数必须是非负值），移到右端的低位被舍弃，对于无符号数，高位补0。对于有符号数，某些机器将对左边空出的部分用符号位填补（即“算术移位”），而另一些机器则对左边空出的部分用0填补（即“逻辑移位”）。注意：对无符号数,右移时左边高位移入0；对于有符号的值,如果原来符号位为0(该数为正),则左边也是移入0。如果符号位原来为1(即负数),则左边移入0还是1,要取决于所用的计算机系统。有的系统移入0,有的系统移入1。移入0的称为“逻辑移位”,即简单移位；移入1的称为“算术移位”。
例： a的值是八进制数113755：
a:1001011111101101 （用二进制形式表示）
a>>1: 0100101111110110 (逻辑右移时)
a>>1: 1100101111110110 (算术右移时)
在有些系统中,a>>1得八进制数045766,而在另一些系统上可能得到的是145766。Turbo C和其他一些C编译采用的是算术右移,即对有符号数右移时,如果符号位原来为1，左面移入高位的是1。
源代码：
#include <stdio.h>
main()
{
int a=0113755;
printf("%d",a>>1);
}
7、位运算赋值运算符
位运算符与赋值运算符可以组成复合赋值运算符。
例如: &=, |=, >>=, <<=, ∧=
例： a & = b相当于 a = a & b
a << =2相当于a = a << 2
二进制数在内存中以补码的形式存储。
按位取反：二进制每一位取反，0变1，1变0。
~9的计算步骤：
转二进制：0 1001
计算补码：0 1001
按位取反：1 0110
_____
转为原码：
按位取反：1 1001
末位加一：1 1010
符号位为1是负数，即-10
~-9的计算步骤：
转二进制：1 1001
计算补码：1 0111
按位取反：0 1000
_____
转为原码：
正数的补码和原码相同，仍为：0 1000，即8
原码表示法在数值前面增加了一位符号位（即最高位为符号位）：正数该位为0，负数该位为1（0有两种表示：+0和-0），其余位表示数值的大小。例如，用8位二进制表示一个数，+11的原码为00001011，-11的原码就是10001011。
反码表示法规定：正数的反码与其原码相同；负数的反码是对其原码逐位取反，但符号位除外。
补码表示法规定：正数的补码与其原码相同；负数的补码是在其反码的末位加1。
（1） 原码：在数值前直接加一符号位的表示法。
[+7]原= 0 0000111 B
[-7]原= 1 0000111 B
注意：
a. 数0的原码有两种形式：
[+0]原=0 0000000 B
[-0]原=1 0000000 B
b. 8位二进制原码的表示范围：-127～+127
（2）反码：
正数：正数的反码与原码相同。
负数：负数的反码，符号位为“1”，数值部分按位取反。
[+7]反= 0 0000111 B
[-7]反= 1 1111000 B
注意：
a. 数0的反码也有两种形式，即
[+0]反=0 0000000 B
[-0]反=1 1111111 B
b. 8位二进制反码的表示范围：-127～+127
（3）补码
正数：正数的补码和原码相同。
负数：负数的补码则是符号位为“1”。并且，这个“1”既是符号位，也是数值位。数值部分按位取反后再在末位（最低位）加1。也就是“反码+1”。
求负整数的补码，原码符号位不变，先将原码减去1，最后数值各位取反。（但由于2进制的特殊性，通常先使数值位各位取反，最后整个数加1。）
例如： 符号位 数值位
[+7]补= 0 0000111 B
[-7]补= 1 1111001 B
注意：
a. 采用补码后，可以方便地将减法运算转化成加法运算，运算过程得到简化。正数的补码即是它所表示的数的真值，而负数的补码的数值部份却不是它所表示的数的真值。采用补码进行运算，所得结果仍为补码。
b. 与原码、反码不同，数值0的补码只有一个，即 [0]补=00000000B。
c. 若字长为8位，则补码所表示的范围为-128～+127；进行补码运算时，应注意所得结果不应超过补码所能表示数的范围。
转化为原码
已知一个数的补码，求原码的操作其实就是对该补码再求补码：
⑴如果补码的符号位为“0”，表示是一个正数，其原码就是补码。
⑵如果补码的符号位为“1”，表示是一个负数，那么求给定的这个补码的补码就是要求的原码。
from:
https://segmentfault.com/a/1190000004877495
Java中的取反号‘~’看原码，反码，补码
一次在写测试程序的时候，随手对2取了一个反，当时代码大意如下:
public static void main(String[] args) {
int a = 2;
System.out.println(~a);
}
按照我当时的想法，觉得过程应该是这样的:
1. a = 2,也就是说a的二进制位10，取反就变成了01，所以结果应该为1。
2. 但是实际的结果值是-3，于是就被打脸了。
知识普及
那究竟是为什么结果和我预期的不一致呢？这就要从计算机常用的几个码说起了。首先，java存储的是有符号数，在计算机中，有符号数通常是使用补码存储的，java也不例外。先来看看什么叫原码，反码，补码。
原码
原码就是符号位加上真值的绝对值,即用第一位表示符号, 其余位表示值. 比如如果是8位二进制:
[+1]原 = 0000 0001
[-1]原 = 1000 0001
第一位是符号位. 正数符号位为0，负数为1。
反码
正数的反码是其本身
负数的反码是在其原码的基础上,符号位不变，其余各个位取反.
例如：
[+1] = [00000001]原 = [00000001]反
[-1] = [10000001]原 = [11111110]反
补码
正数的补码就是其本身
负数的补码是在反码的基础上+1。
例如:
[+1] = [00000001]原 = [00000001]反 = [00000001]补
[-1] = [10000001]原 = [11111110]反 = [11111111]补
分析
所以回到一开始的问题，int a = 2 a在计算机中是以补码存储的。
● 对于2这个正数来说，补码、反码、原码都是相同的，又由于是数值型，在这里我先用八位bit来表示一下：
原码:0000 0010
反码:0000 0010
补码:0000 0010
● 取反
取反过程是在补码的基础上进行的，由于是按位取反，无论符号位还是数值位都要取反，所以结果如下:
取反后的补码: 1111 1101
● 换算为值
那么取反后的补码的实际值是多少呢？我们需要先把他转化为原码，过程如下:
反码 = 1111 1101 - 1 = 1111 1100
原码 = 反码符号位不变，其余取反 = 1000 0011
所以，最后的值-3
